中学受験に出る場合の数

中学受験に出る場合の数の基本問題と解き方

中学入試で出題される「場合の数」の問題にはいくつかの決まったパターンがあります。
この基本パターンを覚えてしまうことが、応用問題も解けるようになるコツです。

 

まずは、基本問題で解き方だけでなく考え方も理解するようにしましょう。

 

【場合の数の基本問題−1】
1,2,3,4,5の5枚のカードを使って2ケタの数字を作るとき、何通りの数字ができますか?ただし、同じ数字のカードは1度しか使えません。

 

「場合の数」の問題の解き方

考え方を整理するために考えられる組合せを書き出してみます。

 

1枚目のカードが「1」のとき
1枚目のカード2枚目のカードできた数字
12
13
14
15
  • 「同じ数字のカードは1度しか使えない」ので、2枚目に「1」は使えない。
  • 1枚目のカードが「1」の場合は、全部で4通りとなる

 

1枚目のカードが「2」のとき
1枚目のカード2枚目のカードできた数字
21
23
24
25
  • 「同じ数字のカードは1度しか使えない」ので、2枚目に「2」は使えない。
  • 1枚目のカードが「2」の場合は、全部で4通りとなる

 

上にある2つの表がほとんど同じなのに気づきましたか?

 

1枚目のカードが「1」から「2」に変わってもパターンは同じ。
2枚目には1枚目のカード以外の4枚が来ます。

 

ここで1枚目のカードになる数字がいくつあるか考えてみます。
1,2,3,4,5の5枚ですよね。

 

その5枚それぞれに2枚目のパターンが4つあるというわけです。
なので、合計は5×4=20となります。

 

答え.20通りの数字ができる

 

3桁の数字で場合の数の問題を考える

一番カンタンな2ケタの問題で考えましたが、3ケタの数字になっても考え方は同じです。

1枚目のカードが「1」で2枚目のカードが「2」のとき
1枚目のカード2枚目のカード3枚目のカードできた数字
123
124
125
  • 1枚目のカードが「1」で2枚目のカードが「2」の場合は、全部で3通りとなる

 

1枚目のカードが「1」で2枚目のカードが「3」のとき
1枚目のカード2枚目のカード3枚目のカードできた数字
132
134
135

 

整理すると次のようになります。

  • 1枚目のカードに来る数字 … 5パターン
  • 2枚目のカードに来る数字 … 4パターン(1枚目の数字が使えない)
  • 3枚目のカードに来る数字 … 3パターン(1枚目と、2枚目の数字が使えない)

 

答えは、5×4×3=60通りとなります。

 

ゼロが入る定番の引っかけ問題に注意

場合の数の問題では、よく出る引っかけ問題があります。

 

【場合の数の基本問題−2】
0,1,2,3,4の5枚のカードを使って2ケタの数字を作るとき、何通りの数字ができますか?ただし、同じ数字のカードは1度しか使えません。

 

最初の問題と違うのは、「1,2,3,4,5」と「0,1,2,3,4」だけです。
使う数字は同じ5つだから、組み合わせ数も同じと考えるのは間違い。

 

「0,1,2,3,4」でなく「5,6,7,8,9」だったら、その考え方であっています。
(1,2,3,4,5のときと同じで20通りが答え)

 

気をつけなければならないのは「0(ゼロ)」が入ったときです。
「10」は2ケタの数字ですが、「01」は2ケタの数字ではありません。

 

「0」は数字の先頭にはならないことを考えて解かなければならないのです。
整理して考えてみます。

 

1枚目のカードが「1」のとき
1枚目のカード2枚目のカードできた数字
10
12
13
14
  • 1枚目のカードが「1」の場合は、全部で4通りとなる

 

1枚目のカードが「2」のとき
1枚目のカード2枚目のカードできた数字
20
21
23
24
  • 1枚目のカードが「2」の場合は、全部で4通りとなる

 

1枚目のカードが「1」でも「2」でも、全部で4通りとなります。
1枚目のカーどとして有効なのは「0」以外の「1,2,3,4」で4通り。

 

4通り×4通り=16通りとなります。

 

答え.16通り

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