過不足算の解き方をオリジナル問題で解説

過不足算の解き方

中学受験の算数に出てくる過不足算のオリジナル問題と解き方の解説です。
過不足算とは、ものを分けたときの余った数や不足した数から、もとの数を計算する問題です。

 

いくつかのパターンがありますが、基本的なものはコチラです。

 

盗人算(ぬすびとざん)と呼ばれることもある過不足算

過不足算は盗人算(ぬすびとざん)と呼ばれることもあります。盗人(ぬすびと)とは文字通り「モノを盗む人(ドロボウ)」のことです。

 

なぜ、盗人算と呼ばれるかというと、江戸時代に書かれた数学書に過不足算の問題が出てくるのですが、その内容が盗人が盗んだ絹を分けるものだったためです。

 

「盗人」という言葉がよくないので、現在では過不足算と呼ばれています。解き方や考え方は同じなので、以下で過不足算の解き方をマスターしてみてください。

 

 

過不足算(基本問題)の解き方

【過不足算の基本問題】

 

給食にイチゴが出たのでクラスで一人3個ずつ分けると52個あまりました。そこで、一人5個ずつ分けるとちょうど分けられました。イチゴの数とクラスの人数を求めなさい。

 

分ける個数を変えたら、あまり(または不足)がなくなってちょうどになったというものです。

 

これは分ける個数を変えた分(この問題なら3個から5個なので2個)とあまり(または不足)の数からカンタンに答えを求めることが出来ます。

 

 

あまりが出る過不足算問題

上の問題では配る数を変えたら、ちょうどになりましたが、実際には数を変えてもあまったり、逆に足りなくなったりすることがあります。中学入試では、こうした問題のほうが出題されます。

【配る数を変えても「あまり」が出る過不足算】

 

クラスみんなにリンゴを一人3個ずつ分けると28個あまり、一人5個ずつ分けると4個あまります。クラスの人数とリンゴの数を求めなさい。

何個ずつ分けても、あまりが出てしまう過不足算の問題です。
解き方は人数を変えるとあまりがなくなる(ちょうどになる)ときと同じです。

 

 

【あまったり不足したりする過不足算応用問題】

 

ビー玉を一人7個ずつ分けると11個あまり、一人9個ずつ分けると3個不足します。全部で何人いて、ビー玉は何個でしょうか?

「あまりが出たので最初よりも多く配ったら、今度は足りなくなった」という現実でもありそうな問題です(中学入試でも頻出です)。では、順番に解き方を見ていきましょう。

 

 

過不足算(発展問題)の解き方

過不足算の中には問題を読んだだけでは過不足算と気づきにくいものがあります。
定番の問題として長椅子の問題と速さの問題があります。

【長椅子に座る過不足算の問題】

 

学校にある長椅子に児童が4人ずつ座ると長椅子が5脚足りず、6人ずつ座ると2人分の席があまります。長椅子は全部で何脚で、児童は何人でしょうか?

椅子は1個、2個ではなく1脚(きゃく)、2脚(きゃく)と数えます。

この長椅子に何人かずつ座るという問題も過不足算で解くことが出来ます。
考え方はものを分けるときと同じです。順番に解き方を見ていきましょう。

 

 

【速さの過不足算の問題】

 

学校から目的地まで毎分80mで移動すると予定時間よりも3分早く着き、毎分60mで移動すると2分遅く着きます。目的地までの距離と予定時間を求めなさい。

これが速さの過不足算の問題です。
問題を読んだだけでは分かりにくいので、問題文を整理することから始めます。

 

 

面積図を使った過不足算の解き方

ここでは面積図を使って過不足算を解く方法を説明したいと思います。
応用が利く方法ですのでしっかりマスターしてください。

【問題】クラス全員に一人5個ずつビー玉を配ると51個あまり、一人7個ずつ配ると5個足りません。クラスの人数は何人でしょうか?

典型的な過不足算の問題ですね。
この問題を面積図を使って解いていきます。

 

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