中学受験の算数文章題教室

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  • 過不足算(配る数を変える基本問題)の解き方
    過不足算(基本問題)の解き方過不足算の解き方を基本問題をもとに解説します。過不足算とは、あるものを分けたときに、あまったり、足りなかったりした数からもとの数を求めるような問題です。まずは、基本的な問題からチェックしていきます。【過不足算の基本問題】給食にイチゴが出たのでクラスで一人3個ずつ分けると52個あまりました。そこで、一人5個ずつ分けるとちょうど分けられました。イチゴの数とクラスの人数を求めなさい。これが最もカンタンな過不足算です。ある個数で分けるとあまる(または足りない)けど、違う個数で分けるとちょうどになるというパターンです。では、順番に解き方を見ていきます。過不足算(基本問題)の解き方一人3個ずつ配ったらあまったけど、5個ずつにしたらちょうどだったということは、一人2個ずつ増やしたということです。2個ずつ増やしたのは、52個のあまりの中からです。そうすると、ちょうどになったということはあまりがゼロになったということです。52個をみんなに2個ずつ配って行ったら、ちょうどだった(あまりがなくなった)。ということは、みんなが何人だったかはカンタンですね。52÷2=26人これがクラスの人数です。クラスの人数が分かれば、イチゴの数も分かります。「一人5個ずつ分けるとちょうど」なので、5個×26人=130個。確認してみると…130個を26人に3個ずつ配ると余りは、130−(26×3)=52。130個を26人に5個ずつ配ると余りは、130−(26×5)=0。問題文とあっていますね。答え.イチゴは130個、クラスの人数は26人この問題は最初にあまった場合でしたが、不足した(足りなかった)場合も考え方は同じです。下記にある練習問題で確認しましょう。過不足算の練習問題チョコレートをクラスで一人8個ずつ分けると63個足りませんでした。そこで、一人5個ずつ分けるとちょうど分けられました。チョコレートの数とクラスの人数を求めなさい。正解・解説を表示一人8個だと足りなくて、5個だとちょうどということは、一人3個減らしたらちょうどだったということです。この減らした分の合計が63個です。ということは、63個÷3個(一人あたり)=21人がクラスの人数。21人に一人5個ずつでちょうどなので、21×=105個がチョコレートの数。確認すると、一人8個ずつ21人に分けるには、168個のチョコレートが必要。168−105=63個。(105個では63個足りない。)答え.チョコレート105個、クラスの人数21人
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  • 配る数を変えてもあまりが出る過不足算の解き方
    配る数を変えても「あまり」が出る過不足算の解き方中学受験の算数に出てくる過不足算についての解き方の解説です。過不足算(配る数を変える基本問題)の解き方では、何人かで分けるとあまったものが、人数を変えて分けるとあまりがなくなり、ちょうど分けられるケースの過不足算についてでした。今回は配る数を変えてもあまりが出てしまう過不足算についてです。では、問題文から見ていきます。【配る数を変えても「あまり」が出る過不足算】クラスみんなにリンゴを一人3個ずつ分けると28個あまり、一人5個ずつ分けると4個あまります。クラスの人数とリンゴの数を求めなさい。何個ずつ分けても、あまりが出てしまう過不足算の問題です。解き方は人数を変えるとあまりがなくなる(ちょうどになる)ときと同じです。配る数を変えても「あまり」が出る過不足算の解き方リンゴを一人3個ずつから一人5個ずつにしたということは、一人2個ずつ増やしたということです。ここまでの考え方は数を変えたらあまりがなくなった問題と同じです。一人2個ずつ増やしたら、あまりが28個から4個に減ったことになります。減った数は28個−4個=24個ですね。あまりが24個減ったのは、一人に2個ずつ増やして分けたからです。何人で分けたか分かりますね。24個÷2個=12人です。リンゴの数を求める人数が分かればリンゴの数も分かります。「一人3個ずつ分けると28個あまる」ということは、12人に3個ずつ配ると28個あまるということです。これを式にすると、12人×3個+28個=64個。「一人5個ずつ分けると4個あまる」でも同じです。12人×5+4=64個。答え.人数は12人、リンゴは64個数字を変えた別の問題で確認数字を変えた別の問題で、もう一度、解き方を確認しておきましょう。いちごをクラス全員に5個ずつ配ると40個あまり、6個ずつだと12個あまります。クラスの人数とイチゴの数を求めなさい。まず最初に考えることは、配る数を変えたら、あまりの数がどう変わったかです。配った数…5個から6個に1個増やしたあまった数…40個から12個に28個減った配る数を一人あたり1個増やしたら、あまりが28個減ったということは、28人に配ったということになります。これがクラスの人数です。あとは、どちらかで計算すればOK。28人に5個ずつ配ったら40個あまったで考えます。28人に5個ずつ配ると合計は28×5=140個。さらに40個あまったいるので、合計は140+40=180個となります。答え.クラスの人数は28人で、イチゴの個数は180個人数を変えても足りない(不足する)という場合でも考え方は同じです。下記の練習問題で確認しましょう。過不足算の練習問題ミカンを一人7個ずつ分けると68個足りず、一人4個ずつ分けると5個足りません。人数とミカンの数を求めなさい。正解・解説を表示問題文を整理すると、ミカンを分ける数(一人あたり) … 7個 → 4個足りないミカンの数 … 68個 → 5個となります。つまり、ミカンを分ける数を一人3個ずつ減らすと、不足分が68個から5個に63個減ったことになります。この不足分が減った分=分ける数を減らした分 なので、63個 ÷ 3個 =21人 が人数となります。人数からミカンの数を求めると、「一人4個ずつ分けると5個足りない」ので、21人×4個=84個。84個には5個足りないということなので、84−5=79個となります。答え.21人、ミカンの数79個
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  • あまりや不足が出る過不足算の問題の解き方
    あまったり不足したりする過不足算応用問題の解き方過不足算応用問題の解き方を解説しています。ある人数で分けるとあまり、人数を変えて分けると不足するというパターンの問題です。ちょっと複雑になっていますが、解き方は難しくありません。【あまったり不足したりする過不足算応用問題】ビー玉を一人7個ずつ分けると11個あまり、一人9個ずつ分けると3個不足します。全部で何人いて、ビー玉は何個でしょうか?「あまりが出たので最初よりも多く配ったら、今度は足りなくなった」という現実でもありそうな問題です(中学入試でも頻出です)。では、順番に解き方を見ていきましょう。過不足算(応用問題)の解き方問題文が長いときはポイントは整理します。一人7個だと … 11個あまる一人9個だと … 3個足りない一人2個増やすと、11個のあまりがなくなり、さらに3個不足するということです。11個のあまりがなくなっただけなら、11個が2個ずつ増やした分の合計になります。ただ、ここでは3個不足しています。3個不足(足りない)ということは、あと3個必要ということです。なので、11個+3個=14個が1人2個ずつ増やした分の合計になります。一人2個ずつ増やした合計が14個になるということです。このことから人数が計算できますね。14個÷2個=7人。これが人数です。ビー玉の数を計算人数からビー玉の数を計算すると、「一人7個ずつ分けると11個あまり」なので、7個×7人+11個=60個となります。念のためもう一つの条件を確認すると、「一人9個ずつ分けると3個不足」なので、9個×7人−3個=60個で同じです。答え.人数は7人、ビー玉の数は60個数値を変えた問題で再確認数値だけ変えた同じパターンの問題で解き方を再確認しましょう。【応用問題(2)】ビー玉を一人12個ずつ分けると8個あまり、一人14個ずつ分けると4個不足します。全部で何人いて、ビー玉は何個でしょうか?最初に考えるのは、配る数を変えたらあまりがどうなったかです。配る数…12個から14個に2個増やしたあまり…8個あまりから4個不足になったここで大切なのは、あまりが「8個あまりから4個不足になった」です。4個不足になったということは、8個のあまりはすべてなくなり、さらに4個足りなくなったということです。ということは、8個+4個=12個が新たに配られる数となります。配る数を一人あたり2個増やしたら、新たに配る数は12個増えるということです。何人に配るのか計算できますね。12÷2=6人となります。人数がわかれば、どちらかの条件で計算すればビー玉の数もわかります。「一人12個ずつ分けると8個あまり」で計算してみます。6人に12個ずつ分けるので6×12=72個。さらに8個あまるということは、72+8=80個がビー玉の数となります。答え.人数は6人、ビー玉の数は80個あまりや不足が出る過不足算の練習問題あめ玉を一人13個ずつ分けると56個あまり、一人16個ずつ分けると13個不足します。全部で何人いて、あめ玉は何個でしょうか?正解・解説を表示16個−13個=3個が増やした数。あまりの56個+不足の13個=69個が増やした数の合計と等しくなります。ということは、69個÷3個=23 が人数。人数からあめ玉の数を求めると、「13個ずつ分けると56個あまり」なので、13個×23人+56個=355個となります。答え.23人、あめ玉の数355個
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  • 過不足算「長イス問題」の解き方
    長イスに座る過不足算の問題の解き方中学受験の算数に出てくる過不足算の中で定番の長椅子(イス)に何人かずつ座るタイプの問題について解き方を解説しています。では、問題から確認していきます。【長イスに座る過不足算の問題】学校にある長イスに児童が4人ずつ座ると長イスが5脚足りず、6人ずつ座ると2人分の席があまります。長イスは全部で何脚で、児童は何人でしょうか?イスは1個、2個ではなく1脚(きゃく)、2脚(きゃく)と数えます。この長イスに何人かずつ座るという問題も過不足算で解くことが出来ます。考え方はものを分けるときと同じです。順番に解き方を見ていきましょう。長イスに座る過不足算の問題の解き方長い文章題のときは、最初に問題を整理します。4人ずつ座ると … イスが5脚足りない6人ずつ座ると … 2人分席があまる最初に考えるのは、4人ずつから6人ずつにしたことで、何人分増えたか?です。4人ずつ座って5脚足りないということは、4×5=20人分の席が足りないということです。6人ずつ座ると、足りなかった席がなくなり、さらに2人分があまったということです。ということは、20人分+2人分=22人分の席が増えたことになります。22人分の席を増やすのに、ひとつのイスあたり何人多く座ったかというと、4人ずつから6人ずつにしたので、2人ずつ増やしたということになります。イス1脚あたり2人ずつ増やしたら、全部で22人分増えた。ということは、イスの数は、 22÷2=11脚となります。イスの数から児童の数を求めるイスの数(11脚)が分かれば児童の数は簡単に分かります。4人ずつ座ると … イスが5脚足りない11脚×4人 + 5脚×4人 = 64人。もう一つの条件でも同じです。6人ずつ座ると … 2人分席があまる11脚×6人 − 2人 =64人。答え.長椅子は11脚、児童は64人長イスが出てくる過不足算の練習問題集会場の長イスに9人ずつ座ると長イスが4脚不足し、11人ずつ座ると8人分の席があまります。人数は何人で、長イスは全部で何脚でしょうか?正解・解説を表示問題文を整理します。 9人ずつ座ると … イスが4脚足りない11人ずつ座ると … 8人分席があまるはじめに何人分の席が増えたかを計算します。9人ずつで4脚足りないということは36人分足りない。8人分席があまるというのは、足りなかった36人分がすべて埋まり、さらに8人分あったということなので、8+36=44人分が増えたことになります。44人分席を増やすのに、イス1脚につき2人(11人−9人)多く座っています。ということは、44÷2=22がイスの数。イスの数から人数を求めます。11人ずつ座ると … 8人分席があまるので、11人×22脚 − 8人 = 234人 となります。答え.長イスは22脚、人数は234人
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  • 過不足算(速さの問題)の解き方
    過不足算(速さの問題)の解き方中学受験の算数に出てくる速さの過不足算について解き方を解説しています。問題を読んだだけでは、過不足算だとは気がつきにくいのですが、問題文を整理して読み替えることで解き方が見えてきます。では、問題からチェックしてみましょう。【速さの過不足算の問題】学校から目的地まで毎分80mで移動すると予定時間よりも3分早く着き、毎分60mで移動すると2分遅く着きます。目的地までの距離と予定時間を求めなさい。これが速さの過不足算の問題です。問題を読んだだけでは分かりにくいので、問題文を整理することから始めます。過不足算(速さの問題)の解き方毎分80m だと 3分早く着く毎分60m だと 2分遅く着く「3分早く着く」ということは、予定の時間だけ進んでいたとすると、目的地よりも240m(3分×毎分80m)先に進むこととなります。同様に、「2分遅く着く」ということは、予定の時間では、目的地よりも120m(2分×毎分60m)手前までしか進めないということです。これを整理すると、毎分80m だと 目的地+240m進む毎分60m だと 目的地−120m進むとなります。目的地までの距離に対して、あまっている分(240m進む)と足りない分(−120m)がある状態です。こうなると過不足算ぽいですよね。過不足算として解く過不足算として解くには、まず進むスピードの差を求めます。毎分80m−毎分60m=毎分20m次に、距離の差を求めます。240m+120m=360m(余っているのと足りない分の差なので足し算で求めます。)毎分20m違うと距離が360m違うということなので、360÷20=18 が予定時間(分)となります。予定時間が分かれば距離も分かります。毎分80m だと 3分早く着くということは15分(18−3)で目的地に着くことになります。毎分80m×15分=1200mが距離となります。答え.予定時間は18分、目的地までの距離は1200m
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  • 面積図を使った過不足算の解き方
    面積図を使った過不足算の解き方ここでは面積図を使って過不足算を解く方法を説明したいと思います。応用が利く方法ですのでしっかりマスターしてください。面積図を使って過不足算を解く【問題】クラス全員に一人5個ずつビー玉を配ると51個あまり、一人7個ずつ配ると5個足りません。クラスの人数は何人でしょうか?典型的な過不足算の問題ですね。この問題を面積図を使って解いていきます。タテとヨコにそれぞれの個数をあてはめ、全体の個数を長方形の面積として算出するのが面積図での考え方です。例えば、タテを一人あたりのビー玉の個数、ヨコをクラスの人数とします。過不足算での面積図の考え方クラの人数が30人で、一人5個ずつビー玉を配ったときの面積図を書いてみます。長方形の面積はタテ×ヨコなので、5個×30人=150個のビー玉があることになります。ただ、問題だとクラスの人数はわからないですよね。なのでクラスの人数を「?」します。で、5個ずつ配ると51個あまり、7個ずつだと5個足りないを図で表すと下記になります。問題文を図にする左の図も右の図もクラスの人数は「?人」で同じなのがポイント!この図から次のことがわかります。あまり51個と不足5個の面積をあわせると56個分56個分の面積のタテは一人あたりに配ったビー玉の差一人に配ったビー玉の差は7個と5個で2個ということは、面積56個分のタテが2個となります。この面積のヨコがクラスの人数。面積はタテ×ヨコなので、56個=2個×クラスの人数となります。よって、クラスの人数=56÷2=28人となります。これが面積図を使った過不足算の解き方です。問題用紙の余白に書くことができるカンタンな図ですのでマスターして使ってみてください。
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