場合の数、順列

中学入試で出題される「場合の数」「順列」の問題にはいくつかの決まったパターンがあります。
この基本パターンを覚えてしまうことが、応用問題も解けるようになるコツです。

 

まずは、基本問題で解き方だけでなく考え方も理解するようにしましょう。

 

 

順列は、並んでいる順番がちがえばちがうものと考えます。
１２３と１３２や２１３は、ちがうものとするのが順列で、同じ数字を使っている（順番が違うだけ）から同じものとするのが組み合わせです。

• 順列…１２３，１３２，２１３，２３１，３１２，３２１は、すべてちがうので６通り
• 組み合わせ…１２３，１３２，２１３，２３１，３１２，３２１は、すべて１と２と３でつくられているので同じ＝１通り

 

「場合の数（順列）」の問題の解き方

考え方を整理するために考えられる順番を書き出してみます。

 

１枚目のカードが「１」のとき

１枚目のカード	２枚目のカード	できた数字
１	２	１２
１	３	１３
１	４	１４
１	５	１５

• 「同じ数字のカードは１度しか使えない」ので、２枚目に「１」は使えない。
• １枚目のカードが「１」の場合は、全部で４通りとなる

 

１枚目のカードが「２」のとき

１枚目のカード	２枚目のカード	できた数字
２	１	２１
２	３	２３
２	４	２４
２	５	２５

• 「同じ数字のカードは１度しか使えない」ので、２枚目に「２」は使えない。
• １枚目のカードが「２」の場合は、全部で４通りとなる

 

上にある２つの表がほとんど同じなのに気づきましたか？

 

１枚目のカードが「１」から「２」に変わってもパターンは同じ。
２枚目には１枚目のカード以外の４枚が来ます。

 

ここで１枚目のカードになる数字がいくつあるか考えてみます。
１，２，３，４，５の５枚ですよね。

 

その５枚それぞれに２枚目のパターンが４つあるというわけです。
なので、合計は５×４＝２０となります。

 

答え．２０通りの数字ができる

 

３桁の数字で場合の数の問題を考える

一番カンタンな２ケタの問題で考えましたが、３ケタの数字になっても考え方は同じです。

１枚目のカードが「１」で２枚目のカードが「２」のとき

１枚目のカード	２枚目のカード	３枚目のカード	できた数字
１	２	３	１２３
１	２	４	１２４
１	２	５	１２５

• １枚目のカードが「１」で２枚目のカードが「２」の場合は、全部で３通りとなる

 

１枚目のカードが「１」で２枚目のカードが「３」のとき

１枚目のカード	２枚目のカード	３枚目のカード	できた数字
１	３	２	１３２
１	３	４	１３４
１	３	５	１３５

 

整理すると次のようになります。

• １枚目のカードに来る数字　…　５パターン
• ２枚目のカードに来る数字　…　４パターン（１枚目の数字が使えない）
• ３枚目のカードに来る数字　…　３パターン（１枚目と、２枚目の数字が使えない）

 

答えは、５×４×３＝６０通りとなります。

 

ゼロが入る定番の引っかけ問題に注意

場合の数の問題では、よく出る引っかけ問題があります。

 

 

最初の問題と違うのは、「１，２，３，４，５」と「０，１，２，３，４」だけです。
使う数字は同じ５つだから、組み合わせ数も同じと考えるのは間違い。

 

「０，１，２，３，４」でなく「５，６，７，８，９」だったら、その考え方であっています。
（１，２，３，４，５のときと同じで２０通りが答え）

 

気をつけなければならないのは「０（ゼロ）」が入ったときです。
「１０」は２ケタの数字ですが、「０１」は２ケタの数字ではありません。

 

「０」は数字の先頭にはならないことを考えて解かなければならないのです。
整理して考えてみます。

 

１枚目のカード	２枚目のカード	できた数字
１	０	１０
１	２	１２
１	３	１３
１	４	１４

• １枚目のカードが「１」の場合は、全部で４通りとなる

 

１枚目のカード	２枚目のカード	できた数字
２	０	２０
２	１	２１
２	３	２３
２	４	２４

• １枚目のカードが「２」の場合は、全部で４通りとなる

 

１枚目のカードが「１」でも「２」でも、全部で４通りとなります。
１枚目のカーどとして有効なのは「０」以外の「１，２，３，４」で４通り。

 

４通り×４通り＝１６通りとなります。

 

答え．１６通り