二進数問題

通常使っている数字は1,2,3…と増えていき10になったらケタが上がる10進数ですが、0と1のみで数字を表す2進数というものがあります。

 

2進数なのに「2」が出てこないのが紛らわしいのですが、2進数の「2」は「0」と「1」の2種類の数字しかないことを意味しています（10進数は、0〜9まで10種類の数字がある）。

 

中学入試の問題で出る場合は「2進数」という言葉ではなく、次のように説明されていることが一般的です。

整数を次のように記号で表すとします。

このとき、次の質問に答えなさい。…（以下省略）

 

上記の説明に2進数という言葉はひとつもありませんが、数字を2種類の記号で表しているので、これは2進数と同じです。2種類の記号であればいいので、〇と□でも▲と▼でも同じ。

 

 

本来の2進数は〇＝0、●＝1なので、次のようになります。

 

二進数の考え方

2進数がどのようなルールになっているのかを説明します。

 

まずは「1」。これは2進数でも【1】と表します。

 

次に「2」。2進数には「2」という数字はありません。【0】と【1】だけ。このためケタが繰り上がって【10】となります。

 

このとき最初のケタは【0】になるのがポイント。
10進数でもケタが繰り上がったとき（10のとき）は、最初のケタは「0」ですよね。

 

次に「3」。2進数【10】が「2」なので、これに「1」を足す【11】が「3」です。
10進数なら「10」の次の数字が「11」になるのと同じ仕組みです。

 

次に「4」。2進数【11】が「3」なので、ケタが上がり【100】が「4」となります。
次に「5」。2進数【100】が「4」なので、これに「1」を足す【101】が「5」です。

 

次に「6」。2進数【101】が「5」なので、これに「1」を足す【110】が「6」です。
一番右のケタが上がって、2番目のケタが増えています。

 

このように考えていくのが2進数です。上の表では10進数の「1」を2進数で【0001】と表していますが【0】は省略しても同じです。

 

二進数の仕組み

2進数はケタが上がるにつれて数値が2倍になっていきます。

 

【1】→2倍→【10】→2倍→【100】→2倍→【1000】。
10進数で表すと、「1」→2倍→「2」→2倍→「4」→2倍→「8」です。

 

この仕組みを利用して2進数を10進数に変換することができます。

 

2進数を10進数に変換する方法

 

（解き方）次のような表を用意します。

• 2進数をケタごとに分解。
• 倍数は右端から（ケタの小さいほうから）2倍で増えていく数字をセット。
• 2進数と倍数をかけ算する。

• 上記の表の「2進数×倍数」を足したのが答え。

8+2+1=11。
答え．2進数【01011】は10進数では「11」

 

2進数で【1】となっているケタに該当する「倍数」を足していけば10進数になるというわけです。

 

二進数の練習問題

整数を次のように記号で表すとします。

このとき、次の質問に答えなさい。

 

（問１）◆◇◆◇◆◇はいくつですか？
（問２）◇◇◆◆◇◆＋◇◆◇◆◇◆を計算せよ。

 

表にあてはめて考えます。問題文より【◇◇◇◆】が「1」で、【◇◇◆◇】が「2」なので、◆が2進数の【1】です。

2進数で【1】となっているケタに該当する「倍数」を足せばいいので、32+8+2=42が答えです。

 

答え．42

 

10進数に直してから計算する方法を説明します。
10進数への変換は表にあてはめて考えます。

8+4+1=13

 

16+4+1=21

 

よって◇◇◆◆◇◆＋◇◆◇◆◇◆＝13+21＝34

 

答え．34

 

この解き方でも正解ですが、時間がかかってしまうため2進数のまま計算する方法も紹介します。

 

同じケタに2進数で【1】（記号だと◆）が２つあると、ケタが繰り上げる。

上の表だと一番右端のケタは両方とも◆なので、繰り上がって次のケタに◆がひとつ増える。繰り上がったため、一番右端のケタは◇となる。

 

右から二番目のケタは両方とも◇で繰り上がり分の◆があるので◆となる。

 

右から三番目のケタは両方とも◆なので、繰り上がって次のケタに◆がひとつ増える。
繰り上がったため、三番目のケタは◇となる。

 

右から四番目のケタはひとつが◆で、繰り上がり分の◆があるので次のケタに◆がひとつ増える。…と計算していきます。

 

 

計算結果を10進数に変換します。

32+2=34

 

答え．34

 

慣れてくると二進数のまま（記号のまま）計算するほうが早く正確になるので、練習してみてください。