中学受験での二進数(2進数)問題の解き方

中学入試で出題される2進数の解き方と考え方

通常使っている数字は1,2,3…と増えていき10になったらケタが上がる10進数ですが、0と1のみで数字を表す2進数というものがあります。

 

2進数なのに「2」が出てこないのが紛らわしいのですが、2進数の「2」は「0」と「1」の2種類の数字しかないことを意味しています(10進数は、0〜9まで10種類の数字がある)。

 

中学入試の問題で出る場合は「2進数」という言葉ではなく、次のように説明されていることが一般的です。

中学入試で出てくる2進数の説明

整数を次のように記号で表すとします。

〇〇〇●〇〇●〇〇〇●●〇●〇〇
〇●〇●〇●●〇〇●●●

このとき、次の質問に答えなさい。…(以下省略)

上記の説明に2進数という言葉はひとつもありませんが、数字を2種類の記号で表しているので、これは2進数と同じです。2種類の記号であればいいので、〇と□でも▲と▼でも同じ。

 

 

本来の2進数は〇=0、●=1なので、次のようになります。

0001001000110100
010101100111

 

二進数の考え方

2進数がどのようなルールになっているのかを説明します。

 

まずは「1」。これは2進数でも【1】と表します。

 

次に「2」。2進数には「2」という数字はありません。【0】と【1】だけ。このためケタが繰り上がって【10】となります。

 

このとき最初のケタは【0】になるのがポイント。
10進数でもケタが繰り上がったとき(10のとき)は、最初のケタは「0」ですよね。

 

次に「3」。2進数【10】が「2」なので、これに「1」を足す【11】が「3」です。
10進数なら「10」の次の数字が「11」になるのと同じ仕組みです。

 

次に「4」。2進数【11】が「3」なので、またケタが上がり【100】が「4」となります。
次に「5」。2進数【100】が「4」なので、これに「1」を足す【101】が「5」です。

 

次に「6」。2進数【101】が「5」なので、これに「1」を足す【110】が「6」です。
一番右のケタが上がって、2番目のケタが増えています。

 

このように考えていくのが2進数です。
上の表では10進数の「1」を2進数で【0001】と表していますが【0】は省略しても同じです。

 

二進数の仕組み

2進数はケタが上がるにつれて数値が2倍になっていきます。

 

【1】→2倍→【10】→2倍→【100】→2倍→【1000】。
10進数で表すと、「1」→2倍→「2」→2倍→「4」→2倍→「8」です。

 

この仕組みを利用して2進数を10進数に変換することができます。

 

2進数を10進数に変換する方法

(例題)2進数【01011】を10進数に変換しなさい。

 

(解き方)次のような表を用意します。

  • 2進数をケタごとに分解。
  • 倍数は右端から(ケタの小さいほうから)2倍で増えていく数字をセット。
  • 2進数と倍数をかけ算する。
2進数01011
倍数168421
2進数×倍数08021
  • 上記の表の「2進数×倍数」を足したのが答え。

8+2+1=11。
答え.2進数【01011】は10進数では「11」

 

2進数で【1】となっているケタに該当する「倍数」を足していけば10進数になるというわけです。

 

二進数の練習問題

整数を次のように記号で表すとします。

◇◇◇◆◇◇◆◇◇◇◆◆◇◆◇◇
◇◆◇◆◇◆◆◇◇◆◆◆

このとき、次の質問に答えなさい。

 

(問1)◆◇◆◇◆◇はいくつですか?
(問2)◇◇◆◆◇◆+◇◆◇◆◇◆を計算せよ。

 

(問1)の解き方

表にあてはめて考えます。
問題文より【◇◇◇◆】が「1」で、【◇◇◆◇】が「2」なので、◆が2進数の【1】です。

記号
2進数101010
倍数32168421

2進数で【1】となっているケタに該当する「倍数」を足せばいいので、32+8+2=42が答えです。

 

答え.42

 

(問2)の解き方<10進数で考える>

10進数に直してから計算する方法を説明します。
10進数への変換は表にあてはめて考えます。

記号
2進数001101
倍数32168421

8+4+1=13

記号
2進数010101
倍数32168421

16+4+1=21

 

よって◇◇◆◆◇◆+◇◆◇◆◇◆=13+21=34

 

答え.34

 

この解き方でも正解ですが、時間がかかってしまうため2進数のまま計算する方法も紹介します。

 

(問2)の解き方<2進数で考える>

同じケタに2進数で【1】(記号だと◆)が2つあると、ケタが繰り上げる。

記号
記号

上の表だと一番右端のケタは両方とも◆なので、繰り上がって次のケタに◆がひとつ増える。
繰り上がったため、一番右端のケタは◇となる。

 

右から二番目のケタは両方とも◇で繰り上がり分の◆があるので◆となる。

 

右から三番目のケタは両方とも◆なので、繰り上がって次のケタに◆がひとつ増える。
繰り上がったため、三番目のケタは◇となる。

 

右から四番目のケタはひとつが◆で、繰り上がり分の◆があるので次のケタに◆がひとつ増える。
…と計算していきます。

 

記号
記号
計算結果

 

計算結果を10進数に変換します。

計算結果
2進数100010
倍数32168421

32+2=34

 

答え.34

 

慣れてくると二進数のまま(記号のまま)計算するほうが早く正確になるので、練習してみてください。

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